monty hall problemi

ilk önce hemen hemen herkesin fark etmez diye düşündüğü, cevabı okuyunca "hassiktir lan", biraz düşününce de "vay anasını" dediği problem.

benzetim ya da simülasyon adı altında verilen derslerin vazgeçilmez sorusu..
(bkz: endüstri mühendisliği)

inatla "yüzde 50 şansım kalıyor efendim sonunda, değiştirmem" demenin yanlış olacağı problem. şu şekilde;

3 kapı var, 2 kapının ardında keçi, 1 kapıda araba var. başlangıçta birini seçiyorsun. sunucu diğer 2 kapıdan içinde keçi olanı açıyor ve soruyor;

- ilk seçtiğin kapıyı değiştirmek ister misin?

veya değiştirirsen şansın artar mı, azalır mı?

öncelikle yüzde 50 şansın kalmıyor. şöyle düşün;

ilk seçtiğin kapı için araba bulma şansın 1/3. bulamama şansın 2/3. sunucu sana 2/3 ihtimalindeki kapılardan birini eleyip, 2/3 ihtimali içinde kalan tek kapıyı veriyor.

bunu "sonuçta 2 kapı kaldı, şansım eşit olur" diye algılamamak lazım. ve sanırım böyle algılayan kişiler yüzde 33 gibi yüksek sayılabilecek bir şansa sahip oldukları için bu şekilde düşünüyorlar.

aynı soruyu 1000 kapıya uyarladığımız zaman durum çok daha net bir hal alıyor.

1000 kapı içinden araba olan kapıyı seçme şansın 1/1000, yanlış kapıyı seçme şansın 999/1000.

sunucunun 1000 kapı içinden yanlış olan 998 kapıyı ayıklaması, senin doğru kapıyı seçme ihtimalini 1/2 yapmaz. çünkü seçimini 1000 kapı içinden yaptın. oysa 2 kapı kaldı. ve sunucunun bıraktığı tek kapıda araba olma ihtimali 999/1000 dir.

yani böyle bir yarışmada bulunma şansınız olursa 3 kapı olsa da, 1000 kapı olsa da seçiminizi değiştirin. kazanma olasılığınız daha yüksek olacaktır.

Monty Hall'e de keciye'de arabaya'da düz gittiğim problemdir.

--spoiler--

(bkz: 21)

--spoiler--

sözlükteki açıklamalarından tatmin olmadığım, anlayamadığım ve entrymi girer girmez wikipedia'dan detaylarına bakacağım problemdir.

ya ben gerizekalıyım yada bir tek ben akıllıyım, o halde diğer arkadaşlarla beynimi değiştirirsem daha zeki olur muyum? probleme göre olma şansım yüksek, bana göre %50 yani ya olurum ya olmam.

yada ben %100 gerizekalıyım.*

kazanma olasılığınızın 2/3 olması için, 3 kapıdan ikisini aynı anda seçmeniz ve 2 tahmin hakkınız olması gerekirdi.

araba 3. numaralı kapıda olsun. 6 ayrı senaryo düşünelim;

1.kapıyı seçtiniz ve kapınızı değiştirmek istediniz : kazandınız
1.kapıyı seçtiniz ve kapınızı değiştirmek istemediniz : kaybettiniz
2.kapıyı seçtiniz ve kapınızı değiştirmek istediniz : kazandınız
2.kapıyı seçtiniz ve kapınızı değiştirmek istemediniz : kaybettiniz
3.kapıyı seçtiniz ve kapınızı değiştirmek istediniz : kaybettiniz
3.kapıyı seçtiniz ve kapınızı değiştirmek istemediniz : kazandınız

kapınızı değiştirdiğiniz 3 durumun 2'sinde kazanırken, kapınızı değiştirmediğiniz zaman oluşacak 3 seçiminizden sadece 1'i kazandırıyor.

bence de değiştirmek gerekir de asıl kafama takılan konu başka.

şimdi kapıyı değiştirirsek şansımız yüzde 50 olacak diyelim. ancak kazanma garantimiz hala yok. yani değiştirsek bile keçili kapıyı seçmiş olabiliriz. yani kazanma ihtimalimiz arttı ancak yanlış kapıyı seçtik ve kaybettik. eğer kapıyı değiştirmesek 1/3 lük ihtimaldeyken kazanmış olacaktık. yani buradaki ihtimal yüzde 50 olmasaydı da yüzde 99 olsaydı biz değiştirip yüzde 1 lik kapıyı seçip yine de kaybedebilirdik bu da bir ihtimal. yani yüzde 50 de olsa yüzde 99 da olsa, kaybederseniz kaybediyorsunuz. allahım delireceğim. yani demek istediğim ihtimal artsa bile kazanamayabiliyorsanız bunların hepsini çöpe atın. sadece şans. yani değiştirmeyin. adam olun verdiğiniz kararın arkasında durun hahahahah

kesinlikle kapıyı değiştirmek gerekiyor.

olayı kapı sayısı 2 ye indi, %50 şans var diye düşünmemek gerekiyor.

şu sebepten;

3 kapıyı, 1. kapı ve diğer ikisi diye 2 ye ayıralım

sol tarafta bizim seçtiğimiz kapı, sağ tarafta diğer iki kapı kalsın

arabanın sağda olma ihtimali ( iki kapı olan kısımda) daha yüksek ( zaten buraya kadar sorun yok

bu aşamada kapılar açılmadan bize deseler ki, soldaki bir kapıyı mı istersin, sağdaki iki kapıyı mı diye, elbette sağdaki iki kapıyı alırdık, çünkü şans %66

ama biz soruya geri dönüp, soldaki 1. kapıyı seçtiğimizi düşünmeye devam edelim

%33 şansımız var

sunucu bize kıyak yapıp, %66 lık taraftaki bir kapıyı eliyor

işte problem burda başlıyor

normal zihin ilk etapta; hah işte 2 kapı kaldı, birisinin arkasında araba var, şanslar %50 diye mantık yürütüyor

lakin;

arabanın sağ taraftaki %66 lık dilimde olma ihtimali hala aynı oranda devam ediyor.

yani siz fikrinizi değiştirerek aslında, %33 lük ve %66 lık tarafları değiştiriyorsunuz

daha da özeti, sunucu size en başta soldaki tek kapıyı mı, sağdaki iki kapıyı mı almak istersiniz diye sormuş olsun, siz de doğal olarak sağdaki iki kapıyı seçersiniz, sonra o seçtiğiniz iki kapıdan birini açsın ve ardından araba çıkmasın, şu durumda şansınızı %50 olarak mı düşünürsünüz? elbette hayır. hala şansınız %66 lık dilimdedir. çünkü o lanet olası arabanın ilk yerleştirmede bir kapılı sol taraf yerine 2 kapılı sağ tarafa düşme ihtimali daha yüksektir.

kapıyı değiştirdiniz ve arkasından araba çıkmadı diyelim, sağlık olsun deyip hemen eve dönmeyin, sunucuya ısrarla öbür kapıyı da açmasını söyleyin, belki de hiç araba koymadı şerefsizler. şaka lan şaka, öyle bişey yapıp da kendinizi rezil etmeyin, koymuşlardır kesin.

bu problemi anlamanın püf noktası şudur: dikkat etmemiz gereken nokta, kapı değiştirme kısmı değil, yarışmanın ilk başındaki kapı seçme olayıdır. çünkü önümüzde 3 kapı varsa bizim arabayı bulma olasılığımız 1/3tür zira diğer 2 kapının arkasında keçi vardır. istatistiklere bakacak olursak bu durumda keçiyi bulma olasılığımız arabayı bulmaktan daha yüksektir. bu durumda sunucu kapılardan birini açıp keçiyi gösterdiğinde elimizde 1 araba ve 1 keçi kalır burası tamam, iste asıl önemli nokta burası. biz kapı 1i seçtik, sunucu da kapı 3ü açtı ve içinden keçi çıktı. bu durumda sonuca gelirsek, bizim seçim yaptıgımız zaman yanılma oranımız yüksek olacağından muhtelemen araba kapı 1de değildir diye düşünüyoruz ve 2. kapıyı seçiyoruz çünkü onun olasılığı daha yüksek. diğer önemli bir nokta ise kimse kalkıp da araba %100 kapı 2den çıkar demiyor. burada vurgulanmak istenen; arabanın 2. kapıda olmasi ihtimalinin 1. kapıda olmasından daha yüksek olduğudur. ama mesela diyelim ki araba kapı 1de ve yarışmacı da ballı bi herif, gitti kapı 1i seçti işte o zaman bu hesaplar sıçar kapıyı değiştirdiğiniz an nurtopu gibi bir keçi sahibi olursunuz. ha bi de şu var araba kapı 1dedir ama siz monty hall'u biliyosunuzdur ve gayet ukala bir tavırla "hehehehe %66,6 şans benim yanımda, kesin araba kapı 2de" diyerek kapınızı değiştirirseniz %33,3 oranında göt olma şansınız da mevcuttur bunu da unutmayın.

sonuç; şanssız bir insansanız monty hall sizin işinize yarayabilir, arabayı kazanma olasılığınız artar. ama bu asla %100 kazanacağınız anlamınada gelmez zira bu tür oyunlarda sadece istatistikler değil şans ve kadar kısmet faktörleri de geçerlidir. enrtryme burada son verirken bir noktaya değinmek istiyorum; bu entryi okuduktan sonra bir yarışmada tutar da keçiyi seçerseniz kesinlikle sorumluluk kabul etmem şimdiden söyliyim.

ilk başta inanmadığım ama sonradan doğruluğunu ispatladığım bir problemdir. çözümü içinse çok fazla uğraşmadım 100.000 deneme yapan bir program yazdım sonuç olarak kapıyı değiştirmek daha doğru.

yıllar yılı çözülemeyen problem.

« Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Kapılardan birini, diyelim ki 1'inciyi seçiyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu, diğer kapılardan birini, diyelim ki ardında keçi olan 3'üncüyü açıyor. Daha sonra size soruyor: "2. kapıyı seçmek ister misiniz?" Seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır? »

15-20 dakika boyunca okunan metinler izlenen videolar sonucunda nihayet bir örnekleme ile anlayıp, kavranabilen olasılık problemi. problemin sağlaması burada: https://www.youtube.com/watch?v=o_djTy3G0pg

sanırım problemi kavramanın esas yolu ilk seçtiğimiz kapının daha düşük olasılıkla arabaya çıktığını kavramamızdır. sonuçta ilk seçtiğimiz kapıyla olasılığımız %33.3 idi. fakat sunucu bir tane arkasında keçi olan kapıyı açtığında olasılığımız %50 değil fakat kapı değiştirme hakkımızı kullanırsak olasılığımız hemen %66.7'ya çıkıyor.

ama tabi benim ve çoğu normal beyne sahip insanlar başlangıçta bunu anlayamıyor hatta sunucunun bize bir daha değiştirmek ister misin? sorusunu tuzak olarak algılıyor. aslında matematik değil de güvenmeyi yitirmişliğimiz durumu zorlaştırıyor. bu problemin anlaşılmamasının evrimsel psikoloji'de bir açıklaması var o da 21 filminde bahsedildiği gibi şudur: http://en.wikipedia.org/wiki/Reverse_psychology

21 filmindeki sahne: https://www.youtube.com/watch?v=Zr_xWfThjJ0

monty hall'in sunduğu "let's make a deal" adlı yarışmasınin problemi olup çoğu matematikçinin ve binlerce kişinin ispatı üzerinde verilen çözümü üzerinde tartıştığı problemdir.

problem söyle bir şey;

"bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. kapılardan birini, diyelim ki 1'inciyi seçiyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu, diğer kapılardan birini, diyelim ki ardında keçi olan 3'üncüyü açıyor. daha sonra size soruyor: "2. kapıyı seçmek ister misiniz?" seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır?"

işin tartışma yaratan tarafı ise seçtiğiniz kapının 1/3 olan olasılığıni matematiksel formulasyonlarda yani şartlı versiyonlarda 2/3 olasılığına çıkıp cikmamasidir.

problem için genel analiz kaynaklarda vardır.
ama problem büyük bir ayrılık ve tartışma yarattığından dolayı ses getirmiştir.

problem daha çok nash dengesini barındıriyor.
yani john forbes nash'in a beautiful mind adlı filmindeki bar sahnesinde anlattığı olay.
nash dengesi adam smith'in düşüncesi olan "rekabet durumunda kişisel hırslar ortak çıkarlara hizmet eder" etkisinden nem alir ve bu etki üzerinden hareket eden bir grup için "en iyi sonuç için gruptaki herkesin kendisi için en iyi olanı yapması gerekir"

bir matematik ilizyonudur. evet, tamamen ilizyon diyebiliriz. aslında problemde zor hiç bir şey yoktur. ortaokul öğrencisi bile yapabilir. ama idrak ve örtüştürme olayı insanı zora sokar. öyle de olmuş. zamanın matematikçileri karşı çıkmış. sonradan yanıldıklarını anlamışlar tabii.

olay şu. 3 kapı var ve 2'sinin arkasında keçi ve 1'inin arkasında araba var. sizden birini seçmeniz isteniyor. siz de tahmin ediyorsunuz. arabayı bulma olasılığınız 1/3. seçtiğiniz kapı dışındaki 2 kapıdan biri açılıyor ve keçi olduğu ortaya çıkıyor. kapıyı açan eleman soruyor. ''kararını değiştirmek ister misin, ya da değiştirirsen şansın azalır mı artar mı?''. cevabı artar. evet, ilginç ama artar amk.

ilk başta arabayı bulma olasılığınız 1/3 iken bulmama olasılığınız 2/3. bir kapı tahmin ediyorsunuz ve eleman tahmin ettiğiniz kapı dışındaki 2 kapıdan birini açtı ve keçi çıktı. sizin seçtiğiniz kapının olasılığı 1/3. diğer tarafta kalan olasılık ise 1-1/3=2/3. kapının açılıp keçi çıkması bir şeyi değiştirmiyor çünkü 2/3 olasılığın içinde olaylar dönüyor. siz kararınızı değiştirirseniz arabayı bulma olasılığınız 1/3'ten 2/3 e artar.

ilginçtir ki beyin kanıtını bildiği ve yaptığı halde 1/2 der.