eksiklik teoremi

"Kurt Gödel" tarafından ortaya çıkartılan teoremdir.
kısa bir anlatımla;
"tutarlı biçimsel bir sistem kurallara ve aksiyomlara dayanıyorsa bu sistem kesinlikle karar verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler içerecektir." *
http://tr.wikipedia.org/wiki/Eksiklik_Teoremi

ünlü matematikçi kurt gödel' in, çağdaşı hilbert' in, matematikteki tüm ispatları aksiyomatik bir sistemle elde edebileceği savını çürüttüğü teorem.

--spoiler--
1. elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksiz değildir.
2. elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden ispatlamak mümkün değildir.
--spoiler-- * *

adı üzerinde bir teoremdir. içindeki unsurlar belirli bir şekilde yorumlandığı takdirde, aritmetiği içine alacak kadar kuvvetli bir formel dil dahilinde, ne kendisinin ne de tersinin "hypothetico-deductive" usulle ispatlanması mümkün olmayan hükümlerin var olduğu manasına gelir. Bu basit yorumlamanın ötesinde, bir ikinci derece denklemini dahi çözmekten aciz, sürüyle filozof bozuntusunun, süpermarket ulemasının, talk-show mütefekkirinin ürettiği ve şu anda da bir kanalizasyon patlaması şeklinde ortaya döktüğü zırva vardır ki, onlarla uğraşmak -bilhassa Türk piyasasındakilerle- sizin için ancak vakit kaybıdır.

basit bir dilden anlatılırsa ve matematikten çıkıp dünyaya uyarlanırsa eğer;

matrix filminde anlatılan olaydır. varlık var mıdır yok mudur ya da biz gerçek miyiz gibi soruları hep dünya içinden cevaplamaya çalışırız. fakat zaten kendi kendine göre kuralları olan bir evrenin içindeyiz. dolayısıyla bizim doğru cevap verdiğimiz sorular aslında zaten evrenin içindeki kurallara göre doğrudur ya da yanlıştır.

yani içinde bulunduğumuz evrenin kuralları yanlışsa, doğru diye gözlemlediğimiz cevaplar da yanlıştır.

örneğin bir çocuğu doğduktan itibaren bir odaya kapatsak, istediğimiz her kuralı ona doğru sandırabiliriz.

Eğer doğruysa ve eğer matematiksel bir evrende yaşıyorsak bilinçli organizmaların bulunamaması gerekirdi.

En basit tabirle Doğrulugu kanıtlanamayan matematiksel sonuclarin olduğunu söyleyen godel teoremi. Goldbach hipotezinin hala ispatlanamamis olmasi bu teorem yuzundendir. Bunun Fizikteki yansıması ise her şeyin teorisinin dogru olsa bile kanıtlanamaz oluşudur.

Eksiklik teoreminin ilgili olduğu bir başka konu ise bilinç, yani "ben" kavrami. Cunku bu teorem kendine referans iceren bir paradoks, Tipki russell paradoksu gibi. Matematik kendini kullanarak yine kendine ait bir onermenin doğruluğunun veya yanlışlığinin ispatlanamayacagina dair bir önermede bulunur. Bu bir çelişkidir ama doğrudur. Matematik aslında burada bilinçli bir varlıkmis gibi davranir. işte tam olarak bu sebeple incompleteness theorem bilinç ile yakindan ilişkilidir. Bilinç de kendine referans içeren bir paradokstan ibarettir. Kisinin kendine "Ben kimim?" dediğinde bir cevap bulamamasi da bu yüzdendir. Özetle sadece bu teoremden yola çıkarak "bilinc bir paradokstur" diyebiliriz. Doğada var olan tek paradoks.

şu gödel denen adamı düşününce hâlâ sinir oluyorum. adam kalkmış, matematiğin en sağlam, en pırıl pırıl sistemini kurmuş gibi duran o kocaman binaya girmiş, kapıya da kocaman “burası kendi kendini tutarlı gösteremez, bir yerden hep delik kalacak” diye yazıp çıkmış. hem de ispatla. hem de o delik, sistemin içinde zaten varmış da biz göremiyormuşuz. yazık. resmen “beni çözün bakalım dahiler” demiş ve hepsini terletmiş.

her şeyi aksiyomlarla, kurallarla, ispat zincirleriyle diziyorsun. aritmetik bile yapsın, her soru cevaplansın istiyorsun. “tamam bu sistemle kainatı bile anlarız” diyorsun. derken sistem dönüp sana “peki ben? ben tutarlı mıyım? bunu da ispatla” diyor. ya susuyor ya da fazla konuşursa kendi ayağına sıkıyor. ikisi de aynı boktan sonuç. işte o an anlıyorsun ki, ne kadar büyük ne kadar mükemmel kurarsan kur, içinde hep bi “kanıtlanamaz doğru” kalıyor.

hayat da aynen öyle be. bütün planları yapmışsın, ilişkileri, işleri, “bundan sonra şöyle olacak” demişsin, sabah uyanıyorsun, bi bakıyorsun o küçük “yanlış mı yaptım” sorusu her şeyi delik deşik ediyor. kapatamıyorsun. çünkü kapatırsan sistem çöküyor.

“ulan her şeyi bilemeyeceğiz mi?” hissi. o his polimer gibi yapışıyor adama, bırakmıyor. kemik kırılma oranımı hesapladım geçen gün, dört buçuk yılda bi tarafım gidiyor ama o kırıkları “tam” ispat edemiyorum, hep bi yüzde kırk eksik kalıyor. gülüyorum kendi kendime. çünkü o eksiklik olmasa her şey o kadar sıkıcı olurdu ki, her kapı önceden açılmış, her soru önceden cevaplı… ne tadı kalırdı ki yaşamın?

eczaneye gittim bi ara, “bana bi şey verin de bu boşlukları doldursun” diye içimden geçiriyorum. yok öyle bi ilaç. concerta bile yetmiyor. sistem kendi çelişkisini taşımak zorunda. biz de öyle taşıyoruz işte. o yüzden bazen o boşluğa bakıp “tamam kanka anlaştık, sen dur orada” diyorum. eksik kalıyoruz. ama o eksiklik güzel bi şey lan. en azından bi yerden rüzgâr esiyor hâlâ, bi yerden ışık sızıyor. yoksa her şey camdan bi fanus olurdu, içinde nefes bile alamazdık.

evet. o kadar.