matematik

Universitede matematik dersi alana kadar matematigin ne oldugunu bilmedigimi farkettim... Lisedeki matematik derslerine aldanmayin, matematik sadece calculus'ten ibaret degil... Her neyse, ozet gecmek gerekirse, bizim bildigimiz matematik kume teorisi ustune kuruludur...

Her sey asagida verilen axiomlarin ustune insa edilmistir, bu aksiyomlari kullanarak bu gune kadar kabul ettigimiz her seyi matematiksel olarak ispatlayabilirz...

Sabri olan varsa en sonda 1>0 in ispatini yapacagim...

(bkz: sözlüğe latex eklensin kampanyası)

Ilk olarak bir grup tanimlariz... Bize dogal gelen en dogal sey tam sayilar! [; \mathhb{Z} ;] bunlar 1,2,3,4,5,6,7... diye giderler... "+", "[;\cdot;]" in var oldugunu var sayalim...

(a1,m1)sayet [; a,b \in \mathbb{Z};] o zaman [; a+b \in \mathbb{Z}, ab \in \mathbb{Z};]
(a2,m2)sayet [; a,b \in \mathbb{z};] o zaman [; a+(b+c)=(a+b)+c, a (bc)=(a b) c;]
(a3m3)sayet [; a,b \in \mathbb{z};] o zaman [; a+b=b+a, a b= b c;]
(a4)[; \exists 0 \in \mathbb{z};] oyle ki [; \forall a \in \mathbb{Z} a+0 =0+a=a;]
(m4)[; \exists 1 \in \mathbb{z};] oyle ki [; \forall a \in \mathbb{z} a 1 = 1 a = a;]
(a5)[; \forall a \in \mathbb{Z}, \exists -a \in \mathbb{Z};] oyle ki [; a+ (-a) = (-a) + a = 0 ;]

(D)[; \forall a,b,c \in \mathbb{z}, a(b+c) =a b+a c;]

(C)[; \forall a,b,c \in \mathbb{z};] ve [; a \neq 0;] sayet [; a b=a c ;] o zaman [; b = c;]

(o1)[; \forall a,b \in \mathbb{z};] ya [; a>b ;] ya [; b=a ;] ya da [; b>a ;]
(02)[; \forall a,b,c \in \mathbb{z};] sayet [; a<b, b<c ;] o zaman [;a<c;]
(03)[; \forall a,b,c \in \mathbb{z};] sayet [; a<b;] o zaman [;a+c<b+c;]
(04)[; \forall a,b,c \in \mathbb{z};] sayet [; a<b, 0<c ;] o zaman [;a c<b c;]

(wop)[; \forall A \subseteq \mathbb{Z}^+, A \neq \emptyset;] o zaman [;A;] nin ene kucuk elemani vardir. Matematiksel olarak bu [; \exists a_0 \in A, \forall a \in A, a_0<a ;]

Bunlara matematikte aksiyom denir var olan butun teoremler bu aksiyomlardan turer... Bu ozellikleri gosteren matematiksel guruplara integral domain denir.

Ornek 1:
Teorem: [; a>0 \Leftrightarrow -a<0 ;]
Ispat: iki tarafada [;-a;] ekle

Ornek 2:
Teorem: [; a 0 = 0 ;]
Ispat: [; a0 = a0;] dagilma ozelligini kullan [; a 0 = a (0+0) = a 0 + a0;] iki tarafa da -a 0 ekle, [;a 0 - a0 = 0 =a 0 + a0 - a0 = a0;]. O zaman [; a 0 = 0;]

Ornek 3:
Teorem : [; a>0, b>0 \Leftrightarrow ab>0 ;]
Ispat, (o4) kullan, [; a>0, b>0 \Leftrightarrow ab>0b;] Ornek 2ye gore [; 0 b = 0;] o zaman [; ab > 0b = 0 ;]

Ornek 4:
Teorem: [; a<0, b<0 \leftrightarrow ab>0 ;]
Ispat: (o4) kullan, [; -a>0, -b>0 \leftrightarrow (-1)^2ab>0-b=0, ab>0 ;]

Ornek 5:
Teorem: [; a\neq 0, a^2>0;]
Ispat: sayet a>0, ornek 3u kullan, sayet a<0, ornek 4u kullan...

Ornek 6:
Teorem: 1>0
Ispat: 1=1^2 (m4), ornek 4'e gore 1>0.

Az sonra: (bkz: rasyonel sayilar)