integral

ivmeli hareket eden bir nesnenin ne kadar yol aldığını bulurken kullanılan yöntemdir. v=0 hızla başlayıp a ivmesiyle t sürede hareket eden bir nesne, x mesafe alsın.

dx/dt=v olduğunu bilmek kaydıyla,

=int(t,0)(v dt)
=int(t,0)(at dt)
=1/2(at^2)-1/2(a(0^2)=1/2(at^2)+c.

denklemi verilen bir çemberin alanını da integral ile bulabiliriz.

x^2+y^2=4 olan bir çember olsun, buradan yarıçapın 2 birim olduğu görülür.

y^2=4-(x^2)

=int(2,-2)(y dx)
=int(2,-2)(kök(4-x^2) dx)

not: burada polinom işlemlerinden yararlanmak yerine trigonometrik özdeşlikleri kullanmamız gerekir.

x=2sinu ise dx=(2cosu)du olmalıdır.

=int(2,-2)(kök(4-4(sin^2u))2cosudu)
=int(2,-2)(kök(4cos^2u)2cosudu)
=int(2,-2)4(cos^2udu)
2cos^2u-1=cos2u ise (cos2u+1)/2=cos^2u.
=4int(2,-2)((cos2u+1)/2)*du)
=2int(2,-2)((cos2u+1)*du))
t=2u ise dt=2du olur.
=2int(2,-2)((cost+1)*dt/2))
=int(2,-2)((cost+1)dt))

2
|
| -sint+t.
|
-2

t=2u olduğundan

2
|
| -sin2u+2u.
|
-2

x=2sinu ise u=arcsin(x/2)*
2
|
| -sin(2arcsin(x/2)+2(arcsin(x/2)).
|
-2

sin2x=2sinxcosx

arcsin(x/2)=arccos(kök(1-(x^2/4))) eşitliğinden

sinu=2*x/2*kök(1-(x^2/4))
sin2u=x*kök(1-(x^2/4))

2
|
| -sin(2arcsin(x/2)+2(arcsin(x/2)).
|
-2

2
|
| -x*kök(1-(x^2/4))+2(arcsin(x/2)).
|
-2

=-x*kök(1-(x^2/4))+2(arcsin(x/2))+c

-2*kök(1-(2^2/4))+2(arcsin(2/2)) - (-x*kök(1-(2^2/4))+2(arcsin(-2/2)))

arcsin(1)=π/2
arcsin(-1)=-π/2

π+π=2π (sadece x'in üst kısmı için, alt kısmının da aynı alana sahip olduğunu bildiğimizden 4π)

sayısız problemin çözümünde integralden yararlanılabilir.