türev

türev matematiksel anlamda bir fonksiyonun o noktadaki eğimidir. aslında basit ama bir o kadar da hassas bir olgudur. bundan dolayı zaten matematik literatürüne girmesi yüzyıllar ve newton (bu noktada calculusun yapımında ve yayımında emeği geçen diğer büyük matematikçi abilerimiz ki kendileri liebniz, cauchy, wierstrass saygıyla anıyoruz) gibi bir dahi gerektirmiştir.

şimdi türevi tanımlamak için birkaç şeye ihtiyaç var, teknik açıdan, ama evvela olayı bir kafamıza oturtmak lazım. türev dediğimiz şey gavurların 'instantaneous' yani anlık, bir an için, bir enstantanedeki değişimin oranıdır. bu ifade ilk atapta çok mantıksız gelir çünkü değişim dediğiniz olay bir süre çerçevesinde gelişir. yani bir akış vardır ama biz olayın bir enstantenesindeki değişim oranıyla ilgileniyoruz. yani ya değişim olmayacak ya da anlık olmayacak, ikisinin bir arada olması pek mümkün gözükmüyor. bunu anlamak için şöyle yapalım, en favori reel değerli tek değişkenli fonksiyonunuzu kapın gelin. bunu bildiğimiz koordinat düzlemine çizelim. şimdi, bunun herhangi bir noktasını işaretledik, ne istiyoruz, tam olarak bu noktadaki değişimin (burada değişimden kasıt fonksiyonunun değerindeki değişim) oranını istiyoruz. ama az önce bahsettiğim pardoksumsu olayın yüzünden nasıl yapacağımızı düşünmemiz lazım. matematikte mentalite şudur arkadaşlar, bildiğin şeyden başla sonra bunu bilmediğin şeye uydurmaya çalış. ne biliyoruz mesela iki nokta arasındaki değişimin oranını bulabiliriz. ortalama bir değer verir ama bulabiliriz. nasıl yaparız, iki noktayı seçeriz, bu iki noktadan bir doğru geçiririz, bu doğrunun eğimi bize iki nokta arasındaki değişimin değerini verir. buradan bir yerlere varabiliriz gibi. uzatmayacağım, bu iki noktayı birleştirsek bu sefer yine bir değişim yok, elimize bir şey geçmiyor dolayısıyla iki nokta arasındaki mesafeyi (fonksiyon üzerindeki mesafeleri) sıfır yapamayız ama bunu sıfıra yaklaştırabiliriz. ne kadar? istediğimiz kadar...olabildiği kadar.. dedim ya bildiğimiz şeyleri kullanırız ne biliyoruz elimizde ne var limit. o zaman bu iki fonksiyon üzerindeki noktaların arasındaki meseafenin sıfıra giderken limitini alsam bu bana işte o istediğim noktadaki değişimin oranını verir ki grafiksel anlamda bu da o noktadaki teğetin eğimidir. bakın anlık demiyorum, anlık değil çünkü mesafe sıfır değil, dx kadar bir fark. küçücük ama bir o kadar da mühim... ayrıca şunu da bir düşünün, dx'i istediğimiz kadar yani teori de en azından küçültebiliyoruz, fonksiyonumuz da var peki bu fonksiyonun altında kalan alanı düşünsek mesela. alan, dx, fonksiyon, türev... evet, evet doğru dedin. kalkülüsün temel teoremi...bağlantıyı görebildiniz mi?

yukarda yazdığım buluşsal tanımdan dolayı ilk limit, sonra süreklilik ardından türev öğretillir. çünkü kullanılan ana araç limittir. süreklilik ile ne alakası var derseniz, noktamızın dibinde istediğimiz gibi hareket edebiliyor olmamız lazım (dx'i düşünün), süreksizlik varsa bu hareketi yapamayız. yani süreklilik yoksa türev de yok. ama süreklilik varsa kesin türev var diyemeyiz bakmamız lazım olmayabilir. örnek olarak tüm reel sayılar üzerinde tanımlı mutlak değer fonksiyonu ve sıfır noktası. limit ve süreklilik olayı çözüldükten sonra aslında bu tanımı yapmak matematiksel anlamda kolay daha boyutu yüksek uzaylara da kolayca adapte edilebilir.

açıkcası, türevi kullanmak falan önemli şey tabii ama onu anlamak mesela onu tanımlayabilmek veya neden bu şekilde tanımlandığını anlamak çok daha mühim.