cantor paradoksu

“Bir sonsuzluğun ötesinde ondan daha büyük başka bir sonsuz vardır.”

matematik ve felsefe tarihine damga vuran bu sözlerin sahibi alman matematikçi georg cantor'a ait sonsuzluk paradoksudur.

iki sonsuz kümemiz olsun. Bunlara A ve B kümeleri diyelim. Şimdi “hangi küme daha büyüktür?” diye soracak olursak, ikisinin de aynı büyüklükte olduğunu söyleyebiliriz elbette. (bir tane mutlak sonsuz olduğu fikrinden yola çıkarak) Peki tam sayılar {0,1,2,3,4…} ve çift sayılar {0,2,4,6,8…} kümelerini karşılaştırırsak ne olur? iki küme de aynı büyüklükte midir? Yoksa tam sayılar kümesi mi daha büyüktür?

Aslında her iki küme de eşit sayıda eleman içeriyor!? “Bir küme diğerini içeriyorsa nasıl eşit sayıda elemana sahip olabilirler?!” diyebiliriz. fakat burada söz konusu olan kümeler sonsuz elemanlı olduğundan, bu mümkün olabiliyor.

enteresan olan kısma gelecek olursak, ''Cantor ve onun izinden giden matematikçiler, farklı tür sonsuzluklar olduğunu belirlediler. Matematikte bunlara kardinalite deniyor. kardinalite sonsuz kümelerin büyüklüğünün bir ölçüsüdür. En küçük kardinalite ℵ0 ( aleph sıfır) olarak adlandırılır ve bir sonraki kardinalite ℵ1, (aleph 1),ondan sonraki ℵ2 (aleph 2) vs. şeklinde devam eder. alef-0'a sayılabilir sonsuzluk dendiği de olur. Doğal sayılar, çift sayılar, tek sayılar kümelerinin kardinalitesi hep alef-sıfırdır. Yani bu kümeler eşit sayıda sonsuz eleman içerirler. (Birbirlerini kapsasalar dahi)''

alef 1 sayılamayan bir sonsuzluk tipidir ve gerçel (reel) sayıların sayısı kadardır. paradoksun işaret ettiği bir diğer nokta şudur ki; alef-1 tipi sonsuzluğun alef-sıfır tipi sonsuzluktan büyük olması. Bu ikisi arasında başka tip bir sonsuzluk (kardinalite) olup olmadığı ise henüz bilinmiyor.

card(2ª)≤ card(a)................1, alt kümelerin kardinali asıl kümelerden küçüktür veya eşittir. Cantor'a göre ise:

card(2ª) > card(a)...............2; bu durumda 1 ve 2 çelişmektedir.

velhasılıkelam cantor sayılamayan reel sayıların sonsuz kümesinin, sayılabilir tüm sayılardan daha büyük olduğunu ispatlamıştır.

https://youtu.be/X56zst79Xjg