euler sabiti

elimden geldiği dilimin döndüğü kadar bu sayının nasıl bulunduğunu anlatayım, öncelikle euler sayısı "e" = 2,71828... gibi sonsuz basamaklı bir sabit sayıdır. sayının isim babası leonhard euler adlı bir matematikçidir. sayıyı ilk keşfeden kişi ise matematikçi jakob bernoulli'dir. bernouilli birleşik fazi hesabı yaparken keşfetmiştir bu sayıyı. biz de aynı şekilde keşfetmeye çalışalım;

elimizde 100 tl para var ve biz bu parayı %100 yıllık faizle bankaya yatırıyoruz.

1 yılın sonunda elimizdeki para = 100 + 100 = 200 tl oluyor.

peki bizim bu yıllık %100 faiz paramıza iki defa uygulansa. yani 6 ayda bir %50 faiz alsak;

100 + 50 = 150 tl
150 + 75 = 225 tl

faiz yılda iki defa uygulandığında kazancımız arttı. peki ya yılda 4 defa yani 3 ayda bir (%25) uygulansa;

100 + 25 = 125 tl
125 + (125 . 25/100) = 156,25 tl
156,25 + (156,25 . 25/100) = 195,31 tl
195,31 + (195,31 . 25/100) = 244,14 tl

bu hesaplara göre faizin uygulanma sıklığı arttıkça elimizdeki para da artıyor. faizin uygulanma sıklığına "n" diyelim. bu üç hesabı incelediğimizde şöyle bir bağıntı olduğu ortaya çıkıyor;

100 . ( 1 + 1/n)^n

teğit etmek isteyen n yerine 1, 2, 4 ü koyup üstteki hesapların kontrolünü yapabilir. görüldüğü üzere n değeri arttıkça para artıyor. ama bunun bir sınırı var. peki bu sınırı nasıl bulacağız? sıklığı en fazla ne kadar arttırabiliriz?

n'yi sonsuza götürdüğümüzü düşünelim. bu ne demek? bizim paramıza faizin her an uygulandığını düşünüyoruz.

lim(n->sonsuz) 100 . ( 1 + 1/n)^n = 100 . lim(n->sonsuz) (1+ 1/n)^n

bu limiti hesaplamak kolay değil. n yerine sayılar yazarak hesaplamaya çalışmışlar. n büyüdükçe limitin değerinin 2,71828... sayısına yaklaştığını keşfetmişler.

limitin değerini bulduğumuza göre paramıza her an faiz uygulanırsa ne kadar paramız olacak;

100 . 2,71828... = 271.82 tl

bernoulli işte bu şekilde lim(n->sonsuz) (1+ 1/n)^n = 2,71828... diyerek "e" sayısını bulmuştur.