matematikte çelişki sanılan ifadeler

son zamanlar da sıkça rastladığım ve rahatsız olduğum durumlardır. genellikle tanımı düzgün uygulamadığımız için bu tarz çelişkilere ulaşırız. bunlardan bazı örnekleri burada açıklayacağım.

örnek 1) 6 : 2 * 3 = ?

bu soru için şu tarz sorular sorulur : hani çarpmanın veya bölmenin birbiri üzerinde bir üstünlüğü yoktu ? hangisini önce yaptığımızın bir önemi yoktu ? bunlara göre önce bölmeyi yaparsan cevap 9 , önce çarpmayı yaparsan cevap 1 çıkar.

peki cevap 1 midir ? 9 mudur ?

bu tarz sorular karşısında bir çok matematikçi afallar ve kaçış yolu olarak şu cevabı verir ; ''önce hangisi geliyorsa onu yapacaksın.''

bu cevap matematiğe kesinlikle aykırı ve yanlış bir cevaptır. çünkü reel sayılar kümesi üzerinde çarpma ve bölme işlemi sağdan ve soldan tanımlıdır. yani işlemi ister sağdan yapın ister soldan yapın cevap daima aynı çıkar. yukarıda yazdığım örnek içinde işlemi sağdan da yapsak soldan da yapsak cevap daima 9 çıkar. bunun nasıl olduğunu açıklayayım ;

işleme birde şu şekilde bakalım ;

6* 1/2 *3=? evet bu soru yukarıda yazdığım sorunun aynısı. sadece bölme işlemini bir bölü iki olarak yazmış oldum. evet şimdi işlemi sağdan da yapsanız soldan da yapsanız cevap 9 çıkar. peki yanılma nereden geliyor ?

işaretleri tam olarak anlayamadığımız için bölme işlemi yapılması gereken yerde çarpma işlemi yapıyoruz. sayıların hemen solunda yer alan işaret sayıların kendisine aittir ve asla onlardan ayrı düşünülemez. burada :2 ifadesi bölü iki manasına gelir. yani ikiyi sağdan da işleme soksanız soldan da işleme soksanız bölmek zorundasınız.

mesela 4-3+5 ifadesin de sağdan işlem yaparken 5+3=8 bulup daha sonra 4-8=-4 olmadığını biliyoruz. çünkü 3 ün sol tarafında yer alan eksi ifadesi 3 ten ayrı düşünülemez. aynı mantık bölme ve çarpma işlemleri için de geçerlidir.

örnek 2 ) ( x^2 ifadesini x üzeri 2 olarak kullanıyorum. ) X^2 nin türevi 2x midir ? x midir ? evet bu soruda karşımıza sıklıkla çelişki olarak çıkmaktadır ve kesinlikle herhangi bir çelişki yoktur.

bir çoğumuzun bildiği gibi x^2 nin türevi 2x dir. ancak bazı insanlar farklı bir mantık geliştirerek cevabı x buluyorlar ve çelişki olduğunu iddia ediyorlar. bunu da şu şekilde yapıyorlar ;

x^2 = x.x dir.

x.x= x+x+x+...+x ( toplam x tane x in toplamına eşittir ) yani x^2 = ( x tane x in toplamı )

sağ tarafın türevini aldığımız da 1+1+1...+1 ( x tane 1 in toplamı çıkar karşımıza ) = x olur. yani bu duruma göre x^2 nin türevi x dir.

iddiaları bu şekilde fakat yanıldıkları nokta şu ; türev de x^2 yi x tane x in toplamı olarak yazamazsınız. çünkü türevin tanımı gereği x ifadesinin limiti sonsuza gider. ve siz x tane x olarak açarsanız ifadeyi sonlu yapmış olursunuz ki bu tanıma aykırıdır.

örnek 3 ) bütün tam sayıların toplamı belirsiz midir ? sıfır mıdır ? bu soruya da bir çok matematikçi sıfır cevabını veriyor. ve cevap kesinlikle sıfır değildir.

neden sıfır diyorlar ?

çünkü ; (-1+1)+(-2+2)+(-3+3)+...+....= 0+0+0+...+.... = 0 olur gibi bir iddia da bulunuyorlar.

sonsuz çokluktaki sıfırın toplamı sıfırdır demiş oluyorlar.

yani 0*sonsuz = 0 demiş oluyorlar ki bu bir çelişkidir. 0*sonsuz ifadesi belirsizdir. neden belirsiz olduğunun kardinal evren derslerinde bir çok farklı şekilde ispatı vardır.