fibonacci sayıları

italyan matematikçi Fibonacci yazdığı
matematik kitaplarından birinde tavşan
çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu
iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme
göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar
doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü
aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru
yapar. Buna göre Fibonacci'nin arkadaşı bir
çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift
tavşanı olur?
ilk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun.
Matematik problemlerinde bu yavruların
anasız babasız nasıl büyütülecekleri
konusuna pek girilmez. ikinci ayda bu
tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala
bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir
çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız
olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay
doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden
bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift
tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek
pek bir yere varamayacağız galiba.
Düşünsenize 100.aya kadar hesabı böyle
götürmemiz mümkün mü? Örneğin
100.ayda kaç tavşanımız olacağını doğrudan
hesaplamaya çalışalım. 99.ayda kaç
tavşanımız varsa onların hepsi 100. ayda da
olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak.
Yavrulayacak olanların en az iki aylık olması
gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak
olanlar 98.ayda sahip olduğumuz tavşanların
hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tav-şan
sayısını bulmak için 98.aydaki tavşan
sayısıyla 99.aydaki tavşan sayısını toplamak
gerekiyor.
Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz
sadece 100. aydaki sayıyı merak ediyorduk.
Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99.
aylardaki sayıyı bulmamız gerekecek. Bu
hesabı 100. ayda değil de üçüncü aydan
itibaren yapalım. Birinci ve ikinci aylarda
birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü
ay iki çift tavşanımız olacak. ikinci aydaki bir
çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplarsak
dördüncü ay üç çifti bulacağız.
Buna göre Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:
F1 = 1
F2 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2 , n>2
Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç
tanesi şöyle sıralanır:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,
987,1597,2584,4181,6765,10946...
Bu arada unutmadan 100.ayda kaç çift
tavşanı olacak sorusunun cevabı da şöyle:
F100 = 354 224 848 179 261 915 075

ayrıca bu problem dallarda yapraklarda da çıkmıştı.

Ayrıca bakınız ;

(bkz: pascal üçgeni)
(bkz: altın oran)